Question

已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且
（1）求证：AE=AD；
（2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD．
又∵，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，AE=AD，
∴=．
又∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴=，
∴=，
又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分线），
∴△ABD∽△CBF
∴=．
∵，
∴=，则BD²=BF•BE=2×6=12，
即BD=2，
∴==．
∴=（）²=3，
∴S_△ABD=3S_△CBF=3×3=9．
即△ABD的面积是9．
分析：（1）先把乘积式转化为比例式，再根据BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，然后证明△ABE与△CBD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到
∠ADE=∠AED，再利用等角对等边的性质即可证明；
（2）根据已知条件“CD=CF，AE=AD”和“∠ABC平分线的定理和定义”证得△ABD∽△CBF，则由该相似三角形的对应边成比例、等量代换求得BD²=BF•BE=2×6=12，即BD=2，由此可以推知该相似三角形的相似比=．最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方来求△ABD的面积．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答（2）题时，注意等量代换的巧用和角平分线定理的运用．