Question

已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO==，
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴，
∴，
∴EG=，
∴EF=2EG=．
分析：（1）连接BD，有圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；
（2）AB=2，则圆的直径为2，所以半径为1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的长，再通过证明△EGO∽△CBO得到关于EG的比例式可求出EG的长，进而求出EF的长．
点评：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定于性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．