Question

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

Answer 1

解：（1）当然是GH不变，
重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，
如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变，PO是半径，
它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
则GH=（OP）=（ ×6）=2；
（2）延长OG交PH于点K，
∵△PGH为Rt△   FG=1，PF=3，
∴PG=2，
∴PH=，
∴KG=
∴OG=
∴OG：PG：HG=：2：2=：：1；
（3）△PGH是等腰三角形有3种可能性，
①当GP=PH时，PH=，
②当GP=GH时，PH=0（不存在），
③当PH=GH时，PH=2，
∴PH=或PH=2．