Question

如图，二次函数y=x²+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。

（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1， 又∵△ABC的面积为， ∴，即， 由抛物线与y轴交于（0，-1）， 得y=x2+px+g（p<0）中的q=-1， 则当y=0时，0=x2+px-1，设它的两个根为x1、x2， 则x1+x2=-p，x1x2=-1，且A、B两点的坐标为（x1，0）、（x2，0）， 由直角坐标系上两点间的距离公式可得x2-x1=AB=， ∴， ∴x12+x22-2x1x2=， ∴x12+x22+2x1x2-4x1x2=， ∴（x1+x2）2-4x1x2=，即p2+4=，解得， ∵p<0，∴p=， ∴该抛物线的关系式为；
（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图 由得x1=2，， ∴， 连接AD， 在△ABC的外接圆中， ∵， ∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB， ∴△AOD∽△COB， ∴， ∴， ∴DO=1， ∴CO=DO=1， 又∵AB⊥CD， ∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径， ∴△ABC外接圆的直径为， ∴直线与△ABC的外接圆相切， ∴；
（3）存在 ∵AB是△ABC外接圆的直径， ∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形， 当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为， ∴直线AD的关系式为， 则它与抛物线的交点坐标为， 此时点D的坐标为， 当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1， ∴直线BD的关系式为y=-2x+4， 则它与抛物线的交点坐标为， 此时点D的坐标为， ∴当点D在或的位置时，四边形ACBD为直角梯形。