Question

（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；
（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．
解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．
连接AC，BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC
同理HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG
∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH⊥EF，EH=EF，
∵E、H、F分别是AB、DA、BC的中点，
∴EH=BD，EF=AC，
∴BD=AC，
∵EH为三角形ABD的中位线，
∴EH∥BD，
∴∠HEF=∠ENM=90°，
∵EF为三角形ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴∠AMN=90°，
∴AC⊥BD，
∴ABCD的对角线应该互相垂直且相等．
点评：此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识．