Question

如图，已知一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求∠CAO的度数；
（2）若将直线y=-x+2沿x轴向右平移两个单位，试求出平移后的直线的解析式；
（3）若正比例函数y=kx（k≠0）的图象与y=-x+2的图象交于点B，且∠ABO=30°，求AB的长及点B的坐标．

Answer 1

解：（1）对于一次函数y=-x+2，
令x=0，求出y=2；令y=0，求出x=2，
∴A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）利用平移规律得：平移后的直线解析式为y=-（x-2）+2=-x+4；

（3）根据题意画出相应的图形，过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，
在△AOB中，∠ABO=30°，∠BAO=45°，
∴∠AOB=105°，
∵k=tan105°=tan（45°+60°）===-2-，
∴直线OB解析式为y=（-2-）x，
联立两函数解析式得：，
解得：，
∴B（1-，1+），即BD=1+，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD=（1+）=+．
分析：（1）对于一次函数解析式，分别令y与x为0，求出对应x与y的值，确定出A与C坐标，得到AO=CO，即三角形AOC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CAO的度数；
（2）利用平移规律：“左加右减”，即可确定出平移后的直线解析式；
（3）根据题意画出图形，求出直线y=kx的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出斜率k，确定出y=kx解析式，与y=-x+2联立即可求出B的坐标，进而求出AB的长．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，直线倾斜角与斜率的关系，两直线的交点坐标，以及平移规律，确定出直线OB解析式是解第三问的关键．