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如图所示，已知直线AB过点C（1，2），且与x轴、y轴分别交于点A、B，CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，CF交y轴于G，交x轴于F．（F在原点O的左侧）
（1）当直线AB的位置正好使得△ACD≌△CBE时，求A点的坐标及直线AB的解析式．
（2）若S_{四边形ODCE}=S_△CDF，当直线AB的位置正好使得FC⊥AB时，求A点的坐标及BC的长．
（3）在（2）成立的前提下，将△FOG延y轴对折得△F′O′G′（对折后F、O、G的对应点分别为F′、O′、G′），将△F′O′G′沿x轴正方向平移，设平移过程中△F′O′G′与四边形ODCE重叠部分面积为y，OO′的长为x（0≤x≤1），求y与x的函数关系式．

解：（1）由已知四边形CDOE是矩形，从而由C（1，2），有OD=CE=1．
又∵△ACD≌△CBE∴DA=EC=1，∴OA=OD+DA=2，∴A（2，0）；
∴设直线AB的解析式为y=kx+b，又直线AB经过点A（2，0），C（1，2），
∴ $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线的解析式为y=-2x+4．

（2）由S_{四边形ODCE}=S_△CDF，
即，1×2= $\text{[math]}$ ×2×DF，
得DF=2，∴OF=1，
∴OF=EC，又∵∠EGC=∠OGF，∠CEG=∠FOG=90°，
∴△FOG≌△CEG，∴FO=CE=1，OG=GE=1，
∴GE=EC；又FG⊥AB，∴∠ECF=∠CFA=∠FCD=45°，
∴FC=AC，FD=DA，
从而OA=3，即A（3，0），
又由EC=1，∠ECB=45°，
∴在等腰直角△CBE中，BE=1，
BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（3）如图，△F′O′G′与四边形ODCE重叠部分面积为

S_阴影=S_{矩形ND0′G′}-S_△NMG′，
∵∠MF′D=45°，
∴∠DMF′=∠NMG′=45°，
∴△NMG′是等边三角形，
S_阴影=1×（1-x）- $\text{[math]}$ ×（1-x）（1-x），
=（1-x）[1- $\text{[math]}$ ×（1-x）]，
= $\text{[math]}$ （1-x）（1+x）
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ．
答：y与x的函数关系式是：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （0≤x≤1）．
分析：（1）由△ACD≌△CBE，可得到AD的长，从而得出OA的长，即点A的坐标；直线AB经过A（0，2）和C（2、1）两点，用待定系数法可求得其解析式．
（2）由S_{四边形ODCE}=S_△CDF，并结合已知条件，可得出△FOG≌△CEG，从而知道△CBE为等腰直角三角形，运用勾股定理可得出BC的长；△CFA为等腰直角三角形，从而得到FD=DA=2，得到OA=3；即点A的坐标为（3，0）．
（3）根据已知画出图象，可知S_阴影=S_{矩形ND0′G′}-S_△NMG′，数形结合，将数值代入、化简，即可得出y与x的函数关系式．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．在求有关动点问题时要注意分析、弄清题意，主要考查学生数形结合的数学思想方法．

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