Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．

（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

求证：FD＝FG．

（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

证明（1）：∵AB是直径

 ∴∠ACB=90º ，∴∠CAB+∠ABC=90º

             ∵∠MAC=∠ABC

             ∴∠MAC+∠CAB=90º，即MA⊥AB

∴MN是半圆的切线．

        （2）证法1：

∵D是弧AC的中点， ∴∠DBC=∠2

∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90º

∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º

∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD

∴FD=FG

证法2：连结AD，则∠1=∠2

∵AB是直径，∴∠ADB=90º

∴∠1+∠DGF=90º

又∵DE⊥AB  ∴∠2+∠FDG=90º

∴∠FDG=∠FGD， ∴FD=FG

（3）解法1：

 

过点F作FH⊥DG于H，

又∵DF=FG  ∴S_△FGH=S_△DFG=×4.5=

∵AB是直径，FH⊥DG ∴∠C=∠FHG=90º

∵∠HGF=∠CGB，∴△FGH∽△BGC

∴

∴S_△BCG=

解法2：∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2

∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3

∴AF=DF=FG

∴S_△ADG=2S_△DFG=9

∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB

∴△ADG∽△BCG

∴

∴S_△BCG=

解法3：连结AD，过点F作FH⊥DG于H，

∵S_△FDG=DG×FH=×3FH=4．5

∴FH=3

∵H是DG的中点，FH∥AD

∴AD=2FH=6

∴S_△ADG=

（以下与解法2同）