Question

如图28-2-26，A、D是公园人工湖边的两棵树，AB、BC、CD是公园内的甬路.小明同学想测出A、D两点间的距离.于是他进行了如下测量：B点在A点北偏东α方向，C点在B点北偏东β方向.你认为它还需测出AB、BC、CD中哪些线段的长？并根据小明的测量和你的判断推导出AD的表达式.

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：不管测量哪两条边长，都要构造α、β所在的直角三角形，作辅助线把四边形分割成一个矩形和两个直角三角形，用三角函数形式表示各边长即可求得AD的长. 解：过B点作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F. 由题意知测量任何两条边都可以，具体如下： （1）若只测量AB、BC的长度， 由题意，知AD⊥CD， ∴BF=DE. 在Rt△ABE中，AE=ABcosα； 在Rt△BFC中，BF=BCcosβ. ∴AD=AE+ED=ABcosα+BCcosβ. （2）若只测量AB、CD的长度， ∵在Rt△ABE中，AE=ABcosα，BE=ABsinα， ∴CF=CD-DF=CD-ABsinα. 在Rt△BFC中，BF=. ∴AD=AE+ED=ABcosα+. （3）若只测量CD、BC的长度， ∵在Rt△BFC中，BF=BCcosβ，CF=BCsinβ，DF=CD-CF=CD-BCsinβ. 在Rt△ABE中，AE=， ∴AD=AE+ED=BCcosα+.