Question

如图，PA为⊙O直径，过弧AC的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B，若HB=6cm，BC=4cm，求⊙O直径．

Answer 1

分析：连接AC，OH，由AP为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACP=90°，再由HB垂直于BP得到∠PBH=90°，利用同位角相等两直线平行得到AC与BH平行，再由H为弧AC的中点，利用垂径定理的逆定理得到OH垂直于AC，G为AC的中点，可得出OH垂直于BH，得到四边形BCGH为矩形，利用矩形的对边相等得到BC=GH，BH=CG，再由G与O分别为AC、PA的中点，利用中位线定理得到PC=2OG，设圆的半径为xcm，由OH-GH表示出OG，进而表示出PC，由AC=2CG求出AC的长，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆的直径．

解答：解：连接AC，OH，交于点G，
∵AP为直径，
∴∠ACP=90°，
∵HB⊥PB，
∴∠PBH=90°，
∴∠ACP=∠PBH，
∴AC∥BH，
∵H为

AC

的中点，
∴OH⊥AC，G为AC的中点，
∴BH⊥OH，即BH为圆的切线，
∴四边形BCGH为矩形，
∴BC=GH=4cm，CG=BH=6cm，
∵OG为△ACP的中位线，
∴OG=

1

2

PC，
设圆的半径为xcm，则OH=xcm，PA=2xcm，
OG=OH-GH=（x-4）cm，PC=（2x-8）cm，AC=2CG=12cm，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得：PA²=AC²+PC²，
即（2x）²=12²+（2x-8）²，
解得：x=6.5．
则圆的直径为13cm．

点评：此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．