Question

如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果，求DE的长．

Answer 1

解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB=60°．
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°，
即∠ABC=120°；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO=AC=×4=2，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE=AO=2．
分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出△DAB=60°，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（2）根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE=AO．
点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．