Question

平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD=∠B-∠D；
（2）将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由；
（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；
（4）在图4中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°，则n=______．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
而∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D，
即∠BPD=∠B-∠D；
（2）（1）中的结论不成立，∠BPD=∠B+∠D．
作PQ∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．理由如下：
连结QP并延长到E，如图3，
∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，
∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（4）连结AG，如图4，
∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=（5-2）×180°=6×90°，
∴n=6．
故答案为6．
分析：（1）先根据平行线性质得∠B=∠BOD，再根据三角形外角性质得∠BOD=∠BPD+∠D，则∠BPD=∠B-∠D；
（2）作PQ∥AB，根据平行线性质得AB∥PQ∥CD，则∠1=∠B，∠2=∠D，所以∠BPD=∠B+∠D；
（3）连结QP并延长到E，根据三角形外角性质得∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，然后把两式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
（4）连结AG，根据三角形内角和定理和对顶角相等得到∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，则可把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G化为五边形ACDEG的内角和，然后根据多边形的内角和定理求解．
点评：本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质和多边形内角定理．