Question

如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP=______ cm，BQ=______cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm²？

Answer 1

解：（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12-6=6cm．

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12-x，BQ=2x，
∴12-x=2×2x，
∴x=，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12-x），
x=6
答6秒 或秒时，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=x，
∴，
解得；x₁=10，x₂=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于cm²．
故答案为：6、12．
分析：（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；
（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；
（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．
点评：本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．