Question

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB =90°，∠A=∠D =30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证： AF+EF=DE；

（2）若将图①中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的绕点B按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图③．你认为⑴中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

 

 

 

Answer 1

证明：

（1）       连接BF   ∵△ABC≌△DBE,   ∴BC＝BE, AC＝DE

∵∠ACB＝∠DEB＝90°

∴∠BCF=∠BEF=90°,   ∵BF=BF

∴Rt△BFC≌Rt△BFE     ∴CF＝EF

∵AF＋CF＝AC,          ∴AF＋EF＝DE

(2)如图②。（1）中的结论还成立

（3）不成立。此时AF,EF与DE的关系是AF-EF=DE

理由：连接BF（如图③）

∵△ABC≌△DBE,   ∴BC＝BE, AC＝DE

∵∠ACB＝∠DEB＝90°

∴∠BCF=∠BEF=90°,   ∵BF=BF

∴Rt△BFC≌Rt△BFE     ∴CF＝EF

∵AF-CF=AC,  ∴AF-EF=DE

∴(1)中正确的结论AF-EF=DE