Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁﹣x₂|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

（1）证明：∵△=（m+3）²﹣4（m+1）
=（m+1）²+4
∴无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x₁，x₂是原方程的两根
∴x₁+x₂=﹣（m+3），x₁x₂=m+1
∵|x₁﹣x₂|=2
∴（x₁﹣x₂）²=（2）²
∴（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=8
∴[﹣（m+3）]²﹣4（m+1）=8
∴m²+2m﹣3=0
解得：m₁=﹣3，m₂=1
当m=﹣3时，原方程化为：x²﹣2=0
解得：x₁=，x₂=﹣…11分
当m=1时，原方程化为：x²+4x+2=0
解得：x₁=﹣2+，x₂=﹣2﹣