Question

如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是菱形，点A 的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，连接AC、OB．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点P、Q分别是OB、OC上的动点，连接CP、PQ，试探究：CP+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（3，4），
∵OA==5．
又∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=5，
∴C（5，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．则
，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y=-2x+10；

（2）当点C、P、Q三点共线，且垂直x轴时，CP+PQ最小．
∵四边形OABC是菱形，
∴点A、点C关于直线OB对称，
∴过点A作AQ⊥x轴于点Q，AQ与对角线OB的交点即为点P．
∴CP+PQ=AP+PQ=AQ．
∵点A的坐标为（3，4），
∴AQ=4，即CP+PQ的最小值为4．
分析：（1）由两点间的距离公式求得OA=5，则根据菱形的性质推知OA=OC=5，则C（5，0），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的解析式即可；
（2）当点C、P、Q三点共线，且垂直x轴时，（CP+PQ）最小．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，轴对称--最短路线问题以及菱形的性质．具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．