Question

在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂，写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P₁，点P₁关于直线l的对称点是P₂，求PP₂的长．

Answer 1

解：（1）△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标分别是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；

（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P₁关于y轴对称，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，
设P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
则PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
如图2，当a＞3时，
∵P与P₁关于y轴对称，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，
设P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
则PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
分析：（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A₁B₁C₁各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三个顶点的坐标；
（2）P与P₁关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P₁的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P₂的坐标，即可PP₂的长．
点评：动手操作既是数学活动的一种形式，也是考查学生对概念理解与操作技能掌握情况的一种有效方式．本题设置了轴对称变化和点的坐标变化的有关问题，对于考查目标的实现具有很好的作用．题目的背景清晰、明快，设计自然、合理，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．发挥了试题的整体效应：概念理解与操作技能掌握情况．本题一个考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，学生可以根据自己的理解选择自由发挥的空间，问题的解决为学生提供了自主探索的空间，考查了学生关于变换与坐标知识的综合运用能力．其解决的过程体现了数学内在的和谐美，体现了对学生“操作--发现--猜想”的能力的考查，注意了题目的可推广性，由学生解答本题的情况可以推及学生具有这些特质的情形．