Question

已知关于x的方程x²-（k+4）x+4k=0，
（1）求证：无论k取何实数，方程总有实数根．
（2）若直角三角形的一边长a=3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：∵△=（k+4）²-16k=（k-4）²≥0，
∴无论k取何实数，方程总有实数根；

（2）解：设直角三角形另两边长为b、c，解方程，得b=k，c=4，
显然a=3不能为斜边，
当k为斜边时，则3²+4²=k²，解得k=5，
△ABC的周长为3+4+5=12；
若k为直角边，则3²+k²=4²，解得k=，
△ABC的周长为3+4+=7+．
分析：（1）列出根的判别式，通过变形得出△≥0即可；
（2）根据a为斜边，a为直角边，两种情况，由两根关系，勾股定理求k的值，再求三角形的周长．
点评：本题考查了根的判别式，两根关系，勾股定理．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．