Question

设函数y=x²-（2k+1）x+2k-4的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，且线段OA与OB的长度之比为1：3，则k=________．

Answer 1

分析：令函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，设A（a，0），B（b，0），可得出OA=-a，OB=b，可得出一元二次方程的两个解为a与b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，由OA与OB的比值，得到b=-3a，代入表示出的a+b鱼ab中计算，然后消去a得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：y=x²-（2k+1）x+2k-4，令y=0，得到x²-（2k+1）x+2k-4=0，
设A（a，0），B（b，0），
可得x²-（2k+1）x+2k-4=0的两个解分别为a，b（a＜0，b＞0），
则有a+b=2k+1，ab=2k-4，
又线段OA与OB的长度之比为1：3，即-a：b=1：3，
∴b=-3a，
∴a-3a=2k+1，a•（-3a）=2k-4，即a=-（2k+1）=-k-①，-3a²=2k-4②，
①代入②消去a得：-3（-k-）²=2k-4，即12k²+20k-13=0，
分解因式得：（2k-1）（6k+13）=0，
解得：k=或k=-，
∵抛物线开口向上，且对称轴在y轴右边，
∴-（2k+1）＜0，即k＞-，故k=-舍去，
∴k=．
故答案为：
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，以及二次函数的性质，利用了数形结合及消元的数学思想，数形结合思想是数学中重要的解题思想，学生做题时要灵活运用．