Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）解法一：
由已知，直线CM：y=-x+2与y轴交于点C（0，2）
抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，2），
所以c=2，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M（-，）在直线CM上，
所以=+2，
解得b=0或b=-2
若b=0，点C、M重合，不合题意，舍去，
所以b=-2．即M（，2-）
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，
在Rt△CMQ中，CM²=CQ²+QM²
所以，8=（）²+[2-（2-）]²，
解得，a=±．
∴所求抛物线为：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2
以下同下．
解法二：由题意得C（0，2），
设点M的坐标为M（x，y）
∵点M在直线y=-x+2上，
∴y=-x+2
由勾股定理得CM=，
由勾股定理得CM=，
∵CM=2，即x²+（y-2）²=8
解方程组
得，
∴M（-2，4）或M‘（2，0）
当M（-2，4）时，
设抛物线解析式为y=a（x+2）²+4，
∵抛物线过（0，2）点，
∴a=-，
∴y=-x²-2x+2
当M‘（2，0）时，
设抛物线解析式为y=a（x-2）²
∵抛物线过（0，2）点，
∴a=，
∴y=-x²-2x+2
∴所求抛物线为：y=-x²-2x+2或y=x²-2x+2；

（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y=x²-2x+2不合题意，舍去．
∴抛物线应为：y=-x²-2x+2
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，
∴y=-x²-2x+2=0，
得AB=|x₁-x₂|==4；
（3）∵AB是⊙N的直径，
∴r=，N（-2，0），
又∵M（-2，4），
∴MN=4
设直线y=-x+2与x轴交于点D，则D（2，0），
∴DN=4，可得MN=DN，
∴∠MDN=45°，作NG⊥CM于G，在Rt△NGD中，
NG=DN•sin45°=2=r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径
∴直线CM与⊙N相切．
分析：（1）利用C为抛物线和直线的公共点，根据直线解析式可求得C点坐标，进而求出c的值；利用M为抛物线和直线的公共点，将抛物线顶点坐标代入直线，求出b的值；过M点作y轴的垂线，垂足为Q，构造直角三角形，利用勾股定理求出a的值；
（2）依据两点之间距离公式求解即可．已知抛物线与x轴有两个交点，故求出抛物线应为：y=-x²-2x+2．抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，故|AB|=|x₁-x₂|=4；
（3）求出⊙N半径和直线到圆心的距离，比较它们的大小即可判断其位置关系．
点评：此题作为压轴题，综合考查了二次函数及圆的相关知识．本题综合性较强，综合了函数、方程、圆等知识，解第3小题时可以根据图形的直观对结论进行猜想再证明．