Question

如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．

(1)求证：DE是半圆的切线：

(2)迮接OD，当OC＝BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD＝∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA＝∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论； 　　(2)连接OF，由垂径定理可得到OC＝BC＝OB＝OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA＝OD即可得出结论． 　　解答：证明：(1)如图，连接OD，则OA＝OD， 　　∴∠OAD＝∠ODA， 　　∵△AED由△ACD对折得到， 　　∴∠CDA＝∠EDA， 　　又∵CD⊥AB， 　　∴∠CAD＋∠CDA＝∠ODA＋∠EDA＝90°，D点在半圆O上， 　　∴DE是半圆的切线； 　　(2)四边形ODFA是菱形， 　　如图，连接OF， 　　∵CD⊥OB， 　　∴OC＝BC＝OB＝OD， 　　在Rt△OCD中，∠ODC＝30°， 　　∴∠DOC＝60°， 　　∵∠DOC＝∠OAD＋∠ODA， 　　∴∠OAD＝∠ODA＝∠FAD＝30°， 　　∴OD∥AF，∠FAO＝60°， 　　又∵OF＝OA， 　　∴△FAO是等边三角形， 　　∴OA＝AF， 　　∴OD＝AF， 　　∴四边形ODFA是平行四边形， 　　∵OA＝OD， 　　∴四边形ODFA是菱形． 　　点评：本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理、垂径定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

提示：

考点：切线的判定；菱形的判定；圆周角定理；翻折变换(折叠问题)．