Question

15．如图，抛物线y=-x²+5x+c经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B的坐标是（0，-4）；该抛物线的开口方向向下；顶点坐标是（2.5，2.5）；对称轴直线是x=2.5．
（3）P为坐标轴上的一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求出符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得函数解析式即可；
（2）利用函数解析式求得与y轴交点B的坐标，该抛物线的开口方向，顶点坐标，以及对称轴直线即可；
（3）分两种情况：A为等腰三角形的顶点，B为等腰三角形的顶点，结合性质求得答案即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+5x+c经过点A（1，0）．
∴-1+5+c=0，
C=-4；
∴抛物线解析式为y=-x²+5x-4；
（2）点B的坐标是（0，-4）；
该抛物线的开口方向向下；
顶点坐标是（2.5，2.25）；
对称轴直线是x=2.5．
（3）在抛物线y=-x²+5x-4中，当y=0时，
得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0）又∵B（0，-4），OA⊥OB，
∴$AB=\sqrt{17}$，
∴①以点A为圆心，AB长为半径画圆，
分别交坐标轴于P₁、P₂、P₃三点（如图）．

∴P₁（$\sqrt{17}+1$，O）；
P₂（0，4）
P₃（$1-\sqrt{17}$，0）
②以点B为圆心，AB长为半径画圆，
分别交坐标轴于P₄、P₅、P₆三点（如图）．
∴P₄（-1，O）；
P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）
P₆（0，$\sqrt{17}-4$）
总之存在符合条件的点P，共有六点：P₁（$\sqrt{17}+1$，O）； P₂（0，4）；P₃（$1-\sqrt{17}$，0）；P₄（-1，O）；P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）； P₆（0，$\sqrt{17}-4$）．

点评 此题考查二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．