Question

在△ABC中，已知，DE∥BC，则S_△ADE：S_梯形BCED=1：8．
①若△ABC的周长是△ADE周长的2倍还多15，求它们的周长各是多少？
②若DE+BC=20，求DE的长．

Answer 1

解：（1）∵S_△ADE：S_梯形BCED=1：8，
∴S_△ADE：S_△ABC=1：9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）²=，
∴DE：BC=1：3，
∴△ABC的周长：△ADE的周长=3：1，
设△ABC的周长是3x，△ADE的周长是x，
∵△ABC的周长是△ADE的周长的2倍还多15，
∴3x=2x+15，
解得：x=15；
故△ABC的周长与△ADE的周长分别为：45，15；

（2）∵DE：BC=1：3，
∴BC=3DE，
∵DE+BC=20，
∴DE+3DE=20，
∴DE=5．
分析：（1）由S_△ADE：S_梯形BCED=1：8，可得S_△ADE：S_△ABC=1：9，又由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得相似比，即可得△ABC的周长：△ADE的周长=3：1，又由△ABC的周长是△ADE周长的2倍还多15，即可求得它们的周长；
（2）由（1）可得：DE：BC=1：3，又由DE+BC=20，即可求得DE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比性质的应用是解此题的关键，注意数形结合与方程思想的应用．