Question

如图，已知AC=BC=CD，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．
（1）试说明CD∥AB的理由；
（2）CD是∠ACE的角平分线吗？为什么？

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义），
∵BC=CD（已知），
∴∠DBC=∠D（等边对等角），
∴∠ABD=∠D（等量代换），
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）；

（2）CD是∠ACE的角平分线．理由如下：
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠ABE（两直线平行，同位角相等），
∠ACD=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵AC=BC（已知），
∴∠A=∠ABE（等边对等角），
∴∠ACD=∠DCE（等量代换），
即CD是∠ACE的角平分线．
分析：（1）由于BD平分∠ABC，易得∠ABD=∠DBC，而BC=CD，易得∠DBC=∠D，等量代换可得∠ABD=∠D，从而可证CD∥AB；
（2）CD是∠ACE的角平分线，由于CD∥AB，可知∠DCE=∠ABE，∠ACD=∠A，而AC=BC，易得∠A=∠ABE，等量代换可证
∠ACD=∠DCE，从而可知CD是∠ACE的角平分线．
点评：本题考查了平行线的判定和性质、等边对等角．解题的关键是灵活掌握平行线的性质与判定．