Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）若p=2q，求方程的另一根；
（3）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

（2）设一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为t，
则由韦达定理，得
，
解得，，
所以，原方程的另一根为0；

（3）证明：令x²+px+q=0．则△=p²-4q=p²-4（-2p-5）=（p+4）²+4＞0，即△＞0，
所以，关于x的方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；
（2）根据根与系数的关系来求方程的另一根；
（3）由关于x的方程x²+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．
点评：本题考查了一元二次方程的解的定义、根的判别式以及抛物线与x轴的交点．注意抛物线y=x²+px+q与方程x²+px+q=0的联系．