Question

如图，已知抛物线y=x²+bx经过点（4，0），顶点为M．
（1）求b的值；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A（6，0）、B两点，与y轴交于C点．①试求n的值；②在第二象限内的抛物线y=x²+bx上找一个点P，使得：S_△PBC=S_△MBC，并求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）把点（4，0）代入抛物线y=x²+bx，
解得：b=-1；

（2）
①由（1）得：y=x²-x=（x-2）²-1，
∴顶点M（2，-1）
设抛物线平移后的解析式为y=（x-2）²-1-n
∵平移后的抛物线与x轴交于A（6，0），
∴（6-2）²-1-n=0，
解得：n=3；
②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P，则S_△PBC=S_△MBC，
由①得：平移后的解析式为y=（x-2）²-4，其图象与x轴交点B（-2，0），
与y轴交点C（0，-3）．设直线BC的解析式为y=kx+m
∴，
解得：，
∴y=-x-3
设直线PM的解析式为y=-x+b，并把M（2，-1）代入得：b=2，
∴y=-x+2，
∵平移后的抛物线与直线PM交于P，
∴（x-2）²-4=-x+2，
整理得：x²+2x-8=0 解得：x₁=-4，x ₂=2 （不合题意，舍去）
当x₁=-4时，y=-×（-4）+2=8
∴点P（-4，8）．
分析：（1）把点（4，0）代入抛物线的解析式即可求出b的值；
（2）①把（1）的抛物线解析式配方化为顶点式，因为是该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度，所以可设抛物线平移后的解析式为y=（x-2）²-1-n，再把于x轴交点A（6，0）的坐标代入求出n的值即可②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P，则S_△PBC=S_△MBC，设直线BC的解析式为y=kx+m，把B，C的坐标代入求出k为-，再设直线PM的解析式为y=-x+b，利用已知条件求出b的值，因为平移后的抛物线与直线PM交于P，所以（x-2）²-4=-x+2，进一步解方程求出满足题意的x值，再把x值代入直线PM的解析式求出y即P的纵坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到待定系数求出抛物线的解析式，抛物线的顶点公式抛物线的平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减．