Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE²=AD²+BE²（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE²=AD²+BE²；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

Answer 1

（1）解：∵CE⊥AB，
∴AE=BE，
∵点D与点A重合，
∴AD=0，
∴DE²=AD²+BE²；

（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²；

（3）结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠ACF+∠ACE=90°，即∠FCE=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²．
分析：（1）由等腰直角三角形的性质直接得出结果；
（2）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（3）方法同（2）．
点评：此题主要考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系．