Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-6，0），以点A为圆心的圆交x轴于O、B两点，直线y=x-3交x轴于点C，交y轴于点D，过A、C、D三点作一条抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线CD与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若点M以每秒4个单位长度的速度由点B沿x轴向点C运动，点N以每秒1个单位长度的速度由点C沿直线y=x-3向点D运动．设运动时间为t（t≤4），试问t为何值时△CMN与△CDB相似；
（4）在抛物线上是否存在点P，使△APC的面积是△BCD面积的倍？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当y=0时，x-3=0，解得x=4，
当x=0时，y=-3，
所以，点C（4，0），D（0，-3），
设过A、C、D三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则，
解得，
所以，抛物线解析式为y=x²+x-3；

（2）如图，过圆心A作AE⊥CD于点E，
∵C（4，0），D（0，-3），
∴CD==5，
∵A（-6，0），
∴AC=4-（-6）=10，
sin∠DCO==，
即=，
解得AE=6，
∵⊙A的圆心为（-6，0）且经过点O，
∴⊙A的半径为6，
∴直线CD与⊙A相切；

（3）根据圆的对称性，圆心为A（-6，0）的⊙A经过点O（0，0）与B，
∴点B的坐标为（-12，0），
∴CB=4-（-12）=4+12=16，
根据题意，CM=CB-4t=16-4t，
CN=t，
①CM与CB是对应边时，∵△CMN∽△CBD，
∴=，
即=，
解得t=秒；
②CM与CD是对应边时，∵△CMN∽△CDB，
∴=，
即=，
解得t=秒；
∵与都小于4，
∴t=或秒时，△CMN与△CDB相似；

（4）存在．理由如下：
∵BC=16，点D到BC的距离为3，
∴S_△BCD=×16×3=24，
设点P到AC的距离为h，∵AC=10（已求），
∴×10h=×24，
解得h=3，
①点P在x轴下方，点P的纵坐标是-3，
所以，x²+x-3=-3，
整理得，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
所以，点P的坐标为（0，-3）或（-2，-3），
②点P在x轴上方，点P的纵坐标是3，
所以，x²+x-3=3，
整理得，x²+2x-48=0，
解得x₁=-8，x₂=6，
所以，点P的坐标为（-8，3）或（6，3），
综上所述，存在点P（0，-3）或（-2，-3）或（-8，3）或（6，3），使△APC的面积是△BCD面积的倍．
分析：（1）根据直线CD的解析式求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式解答；
（2）过圆心A作AE⊥CD于点E，利用勾股定理求出CD的长度，再根据∠DCO的正弦值求出AE的长度，与⊙A的半径相比较，根据直线与圆的位置关系即可得出CD和⊙A的位置关系；
（3）根据圆的对称性求出点B的坐标，并求出BC的长度，然后用t表示出CM、CN，再分①CM与CB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②CM与CD是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范围内）；
（4）首先求出△BCD的面积，通过三角形的面积公式，易求得P点纵坐标的绝对值，然后分①点P在x轴下方，点P的纵坐标是负数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解，②点P在x轴上方，点P的纵坐标是正数，代入抛物线的解析式进行计算求出点P的横坐标，从而得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及到待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，直线与圆的位置关系的判定，以及相似三角形的对应边成比例的性质，（3）题要注意根据对应边的不同分两两种情况讨论，（4）要分点P在x轴下方与上方两种情况讨论，本题难度不是很大，但运算较为复杂，希望同学们计算时要认真仔细．