Question

1．已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）．
（1）写出与a有关的两个结论；
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、点D时抛物线的顶点．
①求点A、B坐标
②求点D作DH⊥y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD解析式．
③是否存在实数a，使四边形ABCD的面积为18？若存在，求实数a；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可求解；
（2）①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0，根据a≠0，解出一元二次方程，即可得到点A、B的坐标；
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C点坐标（0，-3a），同理求出D点坐标为（1，-4a），进而证明出DH=HC=-a=1，求出a的值，设直线CD的解析式为y=kx+b，列出k和b的方程组求出k和b，直线CD的解析式即可求出；
③用含a的式子表示出四边形ABCD的面积，根据等量关系：四边形ABCD的面积为18，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0），
∴抛物线开口向下，与轴的交点是（0，-3a）；

（2）①令y=0，得ax²-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；
②如图1，由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
∴C（0，-3a）．
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把点C，点D的坐标分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=1}\end{array}\right.$．
故直线CD的解析式为：y=x+3．
③如图2，
依题意有：$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（-3a）×1+$\frac{1}{2}$×3×（-4a）=18，
解得a=-$\frac{11}{5}$．
故存在实数a=-$\frac{11}{5}$，使四边形ABCD的面积为18．

点评 本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是掌握二次函数图象的性质和待定系数法求一次函数的解析式，此题难度不大．