Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E．
（1）求证：AE∥BC
（2）求证：四边形AECD是矩形；
（3）BC=6cm，，求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠EAD=90°，
∴AE∥BC；

（2）∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形AECD是矩形；

（3）∵BC=6cm，
∴CD=3cm，
∵，
∴AD=4，
∴AB=AC==5，
∴AB的长是5cm．
分析：（1）先根据已知条件求出AD⊥BC，再根据AE平分∠FAC，得出∠EAD=90°，从而证出AE∥BC；
（2）根据DE∥AB，AE∥BC，得出四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，再根据BD=CD，得出AE=CD，四边形AECD是平行四边形，最后根据∠ADC=90°，即可证出四边形AECD是矩形；
（3）根据BC=6cm，得出CD=3cm，再根据，得出AD=4，最后根据勾股定理求出AC的长，即可求出AB的长．
点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，用到的知识点是平行四边形的判断与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，关键是综合利用有关性质，得出结论，是中考命题的热点．