Question

如图，正方形ABCD中，E是AD上一点（E与A、D不重合）．连接CE，将△CED绕点D顺时针旋转90°，得到△AFD．
（1）猜想CE和AF之间的关系，并进行证明．
（2）连接EF，若∠ECD=30°，求∠AFE的度数．

Answer 1

解：（1）CE=AF，且CE⊥AF
证明：如图，∵△AFD是由△CED绕点D顺时针旋转90°而得到的．
∴△ADF≌△CDE，
∴CE=AF，∠1=∠2，DE=DF．
延长CE交AF于点G．
∵四边形ABCD是正方形，∠CDA=90°．
又∠3=∠4，∠2+∠4+∠EGA=∠1+∠3+∠CDE=180°
∴∠EGA=∠CDE=90°
即CE⊥AF；

（2）∵∠1=30°，∠2=30°又∠ADF=90°，
∴∠AFD=60°
∵DE=DF，
∴∠EFD=45°
∴∠AFE=∠AFD-∠EFD=15°．
分析：（1）可利用角边角证明CE，AF所在的2个直角三角形全等，进而证明这2条线段相等及相应的2个锐角相等，延长CE交AF于点G，证明∠EGA为90°即可；
（2）由（1）中的全等易得∠DFA=∠3=60°，易得∠DFE=45°，相减即可得到所求角的度数．
点评：综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质；注意两条线段的关系包括数量关系与位置关系2种．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，位置关系一般考虑平行或垂直；证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．