Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D。
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）在△ABC和△CDA中，  ∴△ABC≌△CDA， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3， 由勾股定理得：AC=4， 即AB、CD间的最短距离是4， 设经过ts时，△BEP是等腰三角形， 当P在BC上时， ①BE=BP=2， t=2时，△BEP是等腰三角形； ②BP=PE， 作PM⊥AB于M， ∵cosB=， ∴BP=， t=时，△BEP是等腰三角形； ③BE=PE=2， 作EN⊥BC于N， ∴cosB=， ∴， BN=， ∴BP=， t=时，△BEP是等腰三角形； 当P在CD上不能得出等腰三角形， ∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4， 当P在AD上时，只能BE=EP=2，过P作PQ⊥BA于Q， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠NAD=∠ABC， ∵∠BAC=∠N=90°， ∴△QAP∽△ABC， ∴PQ：AQ：AP=4：3：5， 设PQ=4x，AQ=3x， 在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22， ∴， AP=5x=， ∴t=5+5+3-=， 答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形。