Question

如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．
求证：AD=AC-AB．

Answer 1

解：在AC上截取AE=AB，连DE，如图，
设∠C=x，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，
∴∠BAC=4x，∠B=2x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠3=∠4=2x，
∵在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠1=2x，
∴∠1=∠4，
∴DA=DE，
∵∠1=∠2+∠C，∠C=x，
∴∠2=2x-x=x，即∠2=∠C，
∴ED=EC，
∴DA=EC，
∴AC=AE+EC=AB+AD，
即AD=AC-AB．
分析：在AC上截取AE=AB，连DE，设∠C=x，由∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1得到∠BAC=4x，∠B=2x，根据角平分线的定义可得∠3=∠4=2x，然后根据全等三角形的判定方法
可证得△ABD≌△AED，则∠B=∠1=2x，于是有∠1=∠4，根据等腰三角形的判定方法得DA=DE，再利用三角形外角性质得∠1=∠2+∠C，而∠C=x，可得到∠2=∠C，
则ED=EC，于是有AC=AE+EC=AB+AD，变形即可得到结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．