Question

9．如图，P是y轴负半轴上一动点，坐标为（0，t），其中-4＜t＜0，以P为圆心，4为半径作⊙P，交y轴于A，B，交x轴正半轴于C，连接PC，BC，过点B作平行于PC的直线交x轴于D，交⊙P于E．
（1）当t=-3时，求OC的长；
（2）当△PBC与△CBD相似时，求t的值；
（3）当P在y轴负半轴上运动时，
①试问$\frac{BE}{OP}$的值是否发生变化？若变化，请说明理由；如不发生变化，求出这个比值；
②求BE•ED的最大值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OPC中，根据OC=$\sqrt{P{C}^{2}-O{P}^{2}}$计算即可．
（2）只要证明∠OCP=30°即可解决问题．
（3）①$\frac{BE}{OP}$是定值．由△CPO∽△PBH，推出$\frac{OP}{BH}$=$\frac{PC}{PB}$，可得$\frac{-t}{BH}$=$\frac{4}{4}$，推出BH=-t，BE=-2t，由此即可解决问题．②由PC∥BD，推出$\frac{PC}{BD}$=$\frac{OP}{OB}$，可得$\frac{4}{BD}$=$\frac{-t}{-t+4}$，
推出BD=$\frac{4（t-4）}{t}$，DE=BD-BE=$\frac{4（t-4）}{t}$-（-2t）=$\frac{4（t-4）}{t}$+2t，推出BE•DE=-2t[$\frac{4（t-4）}{t}$+2t]=-4（t+1）²+36，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵P（0，-3），
∴OP=3，PC=4，
在Rt△OPC中，OC=$\sqrt{P{C}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

（2）如图2中，

∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∵△PBC与△CBD相似，
∴∠CBD=∠CDB=∠PCB=∠PBC，
∵PC∥BD，
∴∠OCP=∠CDB，
∴∠OCP=∠PCB=∠PBC，
∴∠OCP=30°，
∵PC=4，
∴OP=$\frac{1}{2}$PC=2，
∴t=-2．

（3）①$\frac{BE}{OP}$是定值．理由如下：
如图3中，作PH⊥BD于H．

∵PH⊥BE，
∴BH=HE，
∵PC∥BD，
∴PH⊥PC，
∴∠CPH=90°，
易证△CPO∽△PBH，
∴$\frac{OP}{BH}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{-t}{BH}$=$\frac{4}{4}$，
∴BH=-t，
∴BE=-2t，
∴$\frac{BE}{OP}$=$\frac{-2t}{-t}$=2．
∴$\frac{BE}{OP}$是定值．

②∵PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{4}{BD}$=$\frac{-t}{-t+4}$，

∴BD=$\frac{4（t-4）}{t}$，
∴DE=BD-BE=$\frac{4（t-4）}{t}$-（-2t）=$\frac{4（t-4）}{t}$+2t，
∴BE•DE=-2t[$\frac{4（t-4）}{t}$+2t]=-4（t+1）²+36．
∵-4＜0，
∴t=-1时，BE•DE定值最大，最大值为36．

点评 本题考查圆综合题、二次函数的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．