Question

我市某县A、B两乡盛产石榴，A乡有200吨石榴，B乡有300吨石榴，现将这些石榴运到C、D两个贮藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A乡运往C、D两处的费用分别为20元/吨、25元/吨，从B乡运往C、D两处的费用分别为15元/吨、18元/吨．设从A乡运往C仓库的石榴为x吨，A、B两乡的运费分别为y₁元、y₂元．
（1）请求出y₁、y₂与x之间的函数关系式．并求出x的取值范围．
（2）试讨论A、B两乡哪个乡的运费较少？
（3）考虑到B乡的经济承受能力，B乡的运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两乡的运费之和最小？最小是多少？

Answer 1

（1）设从A乡运往C仓库的石榴为x吨，则A地到D地（200-x）吨，B地到C地（240-x）吨，B地到D地（60+x）吨，由题意，得
y₁=20x+25（200-x）=5000-5x，
y₂=15（240-x）+18（60+x）=4680+3x
∵

x≥0 200-x≥0 240-x≥0 60+x≥0

，
∴0≤x≤200；

（2）由题意，得
当y₁＜y₂时，
5000-5x＜4680+3x，
x＞40，
当y₁=y₂时，
5000-5x=4680+3x，
x=40，
当y₁＞y₂时，
5000-5x＞4680+3x，
x＜40．
∴当从A乡运往C地的石榴大于40吨时，A乡运费较少，当从A乡运往C地的石榴等于40吨时，两个乡的运费一样多，当从A乡运往C地的石榴小于40吨时，B乡运费较少．

（3）设总运费为W元，由题意，得
W=5000-5x+4680+3x，
=9680-2x．
∵4680+3x≤4830，
∴x≤50，
∵k=-2，
∴W随x的增大而减小．
∴当x=50时，
W_最小=9680-100=9580．
∴最小的调运方案是：从A到C50吨，
从A到D150吨，
从B到C190吨，
从B到D110吨．
最小运费为：9580元．