Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点P在AB边上运动，且点P不与点A重合，过B、C、P三点的圆交AC于E，点E不与点C重合，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）证明：＜y＜24．

Answer 1

（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理知，BC=6．
∵四边形BCEP是圆内接四边形，∠C=90°，
∴∠EPB=90°，
∵AB，AC是圆的割线，∴AP•AB=AE•AC
∴AE==x．
∴在Rt△APE中，由勾股定理知，PE=x，
∵CE=AC-AE=8-x，PB=AB-AP=10-x，
∴四边形PECB的周长y=PE+PB+EC+BC=6+10-x+8-+x=24-x．

（2）证明：当点E与C重合时，圆变为△PBC的外接圆，故BCEP不能成四边形，所以此时的AP的长为最大值．
作CF⊥AB，垂足为F，则Rt△AFC∽Rt△ACB，AF：AC=AC：AB，解得AF=，即x＜，所以y＞．
由于点P不与A重合，所以x＞0，y＜24，故有＜y＜24．
分析：（1）、由勾股定理和割线定理求得BC，AE与x，PB与x，EC与x的关系即可；
（2）、作CF⊥AB，垂足为F．则Rt△AFC∽Rt△ACB，AP：AC=AC：AB，由E与C，P与F的关系可求得x的取值范围，即可得到y的取值范围．
点评：本题利用了勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质求解．