Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F．求证：OE＝OF．

对于上述命题，若点E在AC的延长线上，如图，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论OE＝OF还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， 　　∴∠BOE＝∠AOF＝，BO＝AO，(正方形的对角线相等且互相垂直平分) 　　又∵AG⊥EB， 　　∴∠AEG＋∠GAE＝，∠AFO＋∠OAF＝， 　　∴∠AEG＝∠AFO． 　　在△AOF和△BOE中， 　　 　　∴△AOF≌△BOE(AAS) 　　∴OE＝OF． 　　(2)当点E在AC的延长线上时，OE＝OF仍成立． 　　∵四边形ABCD是正方形， 　　∴∠BOE＝∠AOF＝，BO＝AO， 　　∴∠F＋∠FAO＝． 　　又∵AG⊥EB， 　　∴∠E＋∠FAE＝， 　　∴∠F＝∠E．(同角的余角相等) 　　在△AOF和△BOE中， 　　 　　∴△AOF≌△BOE(AAS) 　　∴OE＝OF． 　　思路分析：第一问要证OE＝OF，利用正方形的性质和三角形全等很容易完成．而第二问是“开放性”试题，由于它的结论不确定，所以灵活性很强，对于开发智力，发展能力很有好处，这类试题在中考中越来越受到重视．

提示：

点评：从本题我们可以看出，正方形是最特殊的四边形，有着非常好的性质，因此正方形不但是考试的重点，而旦在实际生活中应用非常广泛．