Question

如图，已知抛物线y＝x²－2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结C，将△AC沿C翻折后，点A落在点D的位置．

(1)求直线l的函数解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使得S_△DQC＝S_△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)配方，得y＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为P(2，－1)．(1分) 　　取x＝0代入y＝x2－2x＋1，得y＝1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x＝2对称，∴点B的坐标是(4，1)．(2分) 　　设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有 　　解得∴直线l的解析式为y＝x－3．(3分) 　　(2)连结AD交C于点E，∵点D由点A沿C翻折后得到，∴C垂直平分AD． 　　由(1)知，点C的坐标为(0，－3)，∴在Rt△AC中，A＝2，AC＝4，∴C＝2． 　　据面积关系，有×C×AE＝×A×CA，∴AE＝，AD＝2AE＝． 　　作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CA，∴， 　　∴AF＝·AC＝，DF＝·A＝，(5分) 　　又∵OA＝1，∴点D的纵坐标为1－＝－，∴点D的坐标为(，－)．(6分) 　　(3)显然，P∥AC，且为AB的中点， 　　∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC＝S△DPB． 　　故要使S△DQC＝S△DPB，只需S△DQC＝S△DPC．(7分) 　　过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点． 　　容易求得过点C(0，－3)、D(，－)的直线的解析式为y＝x－3， 　　据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y＝x－． 　　令x2－2x＋1＝x－，解得x1＝2，x2＝，代入y＝x－，得y1＝－1，y2＝， 　　因此，抛物线上存在两点Q1(2，－1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC＝S△DPB．(9分) 　　(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分)