Question

过正方形ABCD的顶点A任引一直线交BC和DC的延长线于P、Q．求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：首先设正方形的边长为a，BP的长为x，根据相似三角形对应边的比相等，用含a和x的式子表示CQ，然后用勾股定理求出PQ²，再运用相似三角形对应边的比表示出和，进行计算证明得到+的值是一个定值，是正方形边长的平方分之一．
解答：证明：如图：设正方形的边长为a，BP=x，则CP=a-x，
∵△ABP∽△QCP，∴=，即：=，得：CQ=．
PQ²=PC²+CQ²=（a-x）²+=．
∵==，∴=．
又==，∴=．
∴+=+=．
∴+=•=•=．
而a是正方形的边长，所以+为定值．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的对边平行且相等，得到相似三角形，运用相似三角形的性质，对应边的比相等进行计算，可以证明+为定值．