Question

如图，M（a，a+1）是对称轴平行于y轴的抛物线上的一点，a和a+1是斜边上的中线等于的直角三角形的两条直角边的长，A是抛物线和x轴的交点，且OA=10k，1＜k＜6，k是整数，关于x的方程x²-2（k-1）x+k²-4=0的两根也是整数．
（1）求点M和A的坐标；
（2）求这段抛物线OMA的解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求这段抛物线OMA上的点的最大纵坐标．

Answer 1

解：（1）由题意得：a²+（a+1）²=（2×）²，
整理，得：a²+a-30=0，
解得：a₁=5，a₂=-6，
∵点M在一象限，
∴a₂=-6应舍去，
把a₁=5代入a+1=6，可得点M（5，6），
解方程x²-2（k-1）x+k²-4=0，得：x=k+1±，
∵方程的两根是整数，
∴2k+5是一个完全平方数，
设2k+5=m²（m为整数），则k=，
∴1＜k＜6，即1＜＜6，
解得：7＜m²＜17，
∵2k+5是奇数，
∴m²=9，即2k+5=9，
解得：k=2，
∴OA=10k=20，
∴点A的坐标为（20，0）；

（2）设这段抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（0≤x≤20），
由O（0，0）、M（5，6）、A（20，0）三点在这段抛物线上，
可得，
解得：a=-，b=，c=0，
则这段抛物线解析式为y=-x²+x（0≤x≤20）；

（3）∵这段抛物线的顶点的纵坐标最大，
∴最大纵坐标为y===8．
分析：（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，由a与a+1为两直角边，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出M坐标，利用配方法表示出已知方程的解，根据方程的解为整数，确定出k的值，即可确定出A的坐标；
（2）设这段抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（0≤x≤20），将O，A，M坐标代入得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，确定出抛物线解析式，求出自变量范围即可；
（3）这段抛物线点的最大纵坐标即为顶点纵坐标，利用顶点坐标公式求出即可．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的顶点坐标，弄清题意是解本题的关键．