Question

如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．
（1）求证：BC∥FG；
（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；
（3）当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．

（2）解：连接BP，
则∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴=．
∴BE²=AE•DE．
∴PE²=AE•DE．

（3）解：∵FE²=FB•FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
设AB=x，则x²-3x-9=0，
解之得x=．
∴AB=（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴．
∴AC==×=1+．
∴AG=AC+CG=3+．
分析：（1）连接BE．构造了一对内错角，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，结合弦切角定理和圆周角定理的推论即可证明内错角相等，从而证明平行；
（2）连接BP．根据三角形的内心的概念以及三角形的外角的性质，可以得到一个等腰三角形，即BE=PE，根据相似三角形的性质可以把要找的线段之间的关系联系起来；
（3）结合（2）的结论首先求得AB的长，再根据平行线分线段成比例定理求得AG的长．
点评：综合运用了三角形的内心的概念、弦切角定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质．