Question

如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）AE⊥GC。  证明：延长GC交AE于点H， 在正方形ABCD与正方形DEFG中， AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG， ∴△ADE≌△CDG， ∴∠1=∠2， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90° =90°， ∴AE⊥GC。
（2）成立。  证明：延长AE和GC相交于点H， 在正方形ABCD与正方形DEFG中， AD=DC，DE=DG， ∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°， ∴∠1=∠2=90°-∠3， ∴△ADE≌△CDG， ∴∠5=∠4， 又∵∠5+∠6=90°， ∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°， ∠6=∠7， 又∵∠6+∠AEB=90° ∴∠AEB=∠CEH， ∴∠CEH+∠7=90°， ∴∠EHC=90°， ∴AE⊥GC。