Question

为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．

采购数量（件）	1	2	…
A产品单价（元/件）	1480	1460	…
B产品单价（元/件）	1290	1280	…

（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y₁（元/件），求y₁与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

Answer 1

解：（1）设y₁与x的关系式y₁=kx+b，
由表知，
解得k=-20，b=1500，
即y₁=-20x+1500（0＜x≤20，x为整数），

（2）根据题意可得
，
解得11≤x≤15，
∵x为整数，
∴x可取的值为：11，12，13，14，15，
∴该商家共有5种进货方案；

（3）解法一：令总利润为W，
则W=30x²-540x+12000，
=30（x-9）²+9570，
∵a=30＞0，
∴当x≥9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W_最大=10650；
解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为：
y₂=-10（20-x）+1300=10x+1100，
则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：
1760-y₁=20x+260，
1700-y₂=-10x+600，
则当20x+260＞-10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润，
即x＞=11时，A产品越多，总利润越高，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，总利润最高，
此时的总利润为（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650．
分析：（1）设y₁与x的关系式y₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函数关系式即可求出；
（2）首先根据题意求出x的取值范围，结合x为整数，即可判断出商家的几种进货方案；
（3）令总利润为W，根据利润=售价-成本列出W与x的函数关系式W=30x²-540x+1200，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可．
点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润，此题难度一般．