Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，边AC绕点A逆时针旋转60°，至AD的位置，作∠ACE=12°，交BD于点E，连接AE．试判定△AEC是什么三角形？请说明理由．

Answer 1

解：△AEC是等腰三角形．理由如下：
连接CD，
∵AC绕点A逆时针旋转60°至AD的位置，
∴AD=AC，∠CAD=60°
则△ACD是等边三角形，
∴∠ECD=72°，
∵AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108°，
∴∠DAB=168°，
∴∠ABD=∠ADB=6°，
∴∠EDC=54°
而∠CED=180°-∠EDC-∠DCE=54°，
∴CE=CD=AC，
即△AEC是等腰三角形．
分析：由AC绕点A逆时针旋转60°至AD的位置，根据旋转的性质得AD=AC，∠CAD=60°，则△ACD是等边三角形，得到∠ECD=72°，而AB=AC，∠BAC=36°，得到∠DAB=168°，∠ABD=∠ADB=6°，得到∠EDC=54°，而∠CED=180°-∠EDC-∠DCE=54°，所以
CE=CD=AC，即△AEC是等腰三角形．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．