Question

如图，正方形ABCD的边长是10cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2cm/s的速度同时向点B，C，D，A运动．
（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？并说明理由．
（2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积是52cm²？

Answer 1

（1）四边形EFGH是正方形．
解：设运动时间为t，
∴AE=BF=CG=DH=2t，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=DA=10cm，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，

（2）设运动时间为xs，
∵点E，F，G，H的运动速度为2cm/s，
∴AE=BF=CG=DH=2x，
∵AB=BC=CD=DA=10cm，BE=CF=DG=AH，
∴BE=CF=DG=AH=10-x，
由勾股定理可得：EH²=AE²+AH²=（2x）²+（10-2x）²=8x²-40x+100，
∵S_{四边形EFGH}=EH²，
∴当S=52cm²时，
8x²-40x+100=52，
∴x²-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∵当x₁=2时，2t=2×2=4cm＜10cm，
当 x₂=3时，2t=2×3=6cm＜10cm，
∴x=2或x=3，
答：运动2秒或3秒后，四边形EFGH的面积是52cm²．
分析：（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即可推出BE=CF=DG=AH，可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，即可推出四边形EFGH是菱形，通过求∠HEF=90°即可推出结论，（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH²=AE²+AH²=8x²-40x+100，由S_{四边形EFGH}=EH²=52，列出方程8x²-40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x≤10．
点评：本题主要考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于：（1）求证菱形EFGH的一个内角等于90°，（2）熟练运用勾股定理，用含x的表达式表示出EH²．