Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为．

Answer 1

解：（1）由题意，得，
解之，得，
∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为D（1，4），
设其对称轴与x轴的交点为E，
∵S_△AOC=|AO|•|OC|，
=×1×3，
=，
S_梯形OEDC=（|DC|+|DE|）×|OE|，
=（3+4）×1，
=，
S_△DEB=|EB|•|DE|，
=×2×4，
=4，
S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，
=++4，
=9；

（3）△DCB与△AOC相似，
证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F，
∵D（1，4），F（0，4），
∴Rt△DFC中，DC=，且∠DCF=45°，
在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=，
∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似，
，
∴△DCB∽△AOC．
分析：（1）已知A、B、C三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式；
（2）求出顶点坐标，作辅助线把四边形ABDC的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形ABDC的面积；
（3）判断△BCD与△COA是否相似，验证是否满足相似比例关系．
点评：本题结合了二次函数的综合运用，考查了不规则四边形面积的求法和三角形相似．注意辅助线的作法，学会拆不规则图形来求其面积．