Question

如图，将边长为4cm的正方形ABCD绕顶点C顺时针方向旋转30°，得到正方形EFCG，且EF交AD于点H．
（1）求证：DH=HF；
（2）求四边形CDHF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接CH，
根据题意得：∠F=∠D=90°，CF=CD，
∵在Rt△CFH和Rt△CDH中，
，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH（HL），
∴DH=HF；

（2）解：∵Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴∠FCH=∠DCH，
由旋转的性质得：∠BCF=30°，
∴∠FCD=90°-∠BCF=60°，
∴∠FCH=∠FCD=30°，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CF=4，
∴FH=CF•tan30°=4×=，
∴S_△CDH=S_△CFH=×FH×CF=××4=，
∴S_{四边形CDHF}=S_△CDH+S_△CFH=．
分析：（1）由将边长为4cm的正方形ABCD绕顶点C顺时针方向旋转30°，利用HL易证得Rt△CFH≌Rt△CDH，即可得DH=HF；
（2）由Rt△CFH≌Rt△CDH，可得∠FCH=∠DCH，易求得∠FCH=30°，然后求得FH的长，继而求得四边形CDHF的面积．
点评：此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角新的判定与性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．