Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）证明：∵OC=CD，∠OCD=60°，
∴∠OCD是等边三角形（有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形）；

（2）当∠α=150°时，由旋转的性质，∠ADC=α=150°，
∵∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD直角三角形；

（3）当AO=AD时，∠AOD=∠ADO=α-60°，
∴∠AOC=∠ADC=α，
∴2α+110°=360°，
∴α=125°，
当DA=DO时，∠ADO=α-60°，
∴∠AOD=（180°-∠ADO）=（180°-α+60°）=120°-α，
∴120°-α+60°+α+110°=360°，
∴α=140°，
当AO=OD时，∠ADO=α-60°，
∴∠AOD=180°-2（α-60°）=300°-2α，
∴300°-2α+110°+α+60°=360°，
∴α=110°．
分析：（1）根据旋转的性质可得OC=CD，∠OCD=60°，然后根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形判定即可；
（2）根据旋转的性质可得∠ADC=α，然后求出∠ADO=90°，即可得解；
（3）分AO=AD时，表示出∠AOC=∠ADC=α，然后根据周角等于列式求解即可；
DA=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可；
AO=DO时，先表示出∠ADO，再根据等腰三角形的性质表示出∠AOD，然后根据周角列出方程求解即可．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论．