Question

已知抛物线y=x²-2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（-4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）把x=-1，y=0代入y=x²-2x+c得：1+2+c=0
∴c=-3
∴y=x²-2x-3=y=（x-1）²-4
∴顶点坐标为（1，-4）；

（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，
由x²-2x-3=0得x=-1或x=3
∴B（3，0）
当x=0时，y=x²-2x-3=-3
∴C（0，-3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD=，
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴
即：=
∴ON=2，
∴N（0，-2）
设直线PQ的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴y=-x-2
设Q（m，n）且n＜0，
∴n=-m-2
又∵Q（m，n）在y=x²-2x-3上，
∴n=m²-2m-3
∴-m-2=m²-2m-3
解得：m=2或m=-
∴n=-3或n=-
∴点Q的坐标为（2，-3）或（-，-）．
分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；
（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，
设Q（m，n），根据点Q在y=x²-2x-3上，得到-m-2=m²-2m-3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．