Question

已知：抛物线以点C为顶点且过点B，抛物线以点B为顶点且过点C，分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线、于点A、D，且AB=AC．
（1）如图1，①求证：△ABC为正三角形；②求点A的坐标；
（2）①如图2，若将抛物线“”改为“”，其他条件不变，求CD的长；
②如图3，若将抛物线“”改为“”，其他条件不变，求a₂的值；
（3）若将抛物线“”改为抛物线“”，其他条件不变，直接写出b₁关于b₂的关系式．

Answer 1

解：（1）
①证明：∵AB∥x轴，∴A、B关于y轴对称，即AC=BC；
又∵AB=AC，∴AB=AC=BC；
即：△ABC是等边三角形．
②设点A的坐标为（x，x²）（x＜0）；
在等边△ABC中，x²=tan60°•（-x），解得：x₁=0、x₂=-
∴A（-，3）．

（2）设线段AB交抛物线y₁的对称轴于点E，AE=BE=m（m＞0）；
①如图（2）-①，在Rt△BCE中，BE=m，EC=m，则B（m，m+1）；
由于点B在y₁=x²+1的函数图象上，所以有：
m+1=m²+1，解得：m=
∴AB=2BE=2m=2；
同（1）①可知，△BCD、△ABC都是等边三角形，则CD=AB=2．
②设抛物线y₁=3x²+b₁x+c₁=3（x-h）²+k，则C（h，k）、B（h+m，k+m）；
由于点B在y₁=3（x-h）²+k上，有：
k+m=3m²+k，解得：m=
∴B（h+，k+1）；
则抛物线y₂=a₂（x-h-）²+k+1，代入C（h，k），得：
a₂×+k+1=k，解得：a₂=-3．

（3）由（2）②知，a₂=-a₁；
由（2）①知，CD=AB=m=|--（-）|=||，
而m=||（由（2）的解答过程可知），则：
||=||，解得：b₁+b₂=±2；
即：或 ．
分析：（1）①由于AB∥x轴，显然点A、B关于抛物线y₁=x²的对称轴对称，可得AC=BC，已知AB=AC，那么△ABC必为等边三角形；
②由抛物线y₁的解析式设出点A的坐标，再根据△ABC是等边三角形列出点A横、纵坐标的关系式，以此确定点A的坐标．
（2）①若称AB与抛物线y₁对称轴的交点为E，可设AE=BE=m（m＞0），在等边△ABC中，CE=m，可用m表示出点B的坐标，代入抛物线解析式中即可求出m的值，则AB的长可求；在（1）的解答过程中，不难看出△ABC、△BCD都是等边三角形，因此由CD=BC=AB即可得解；
②将y₁的解析式写成顶点式，即：y₁=3（x-h）²+k，首先根据等边△ABC的特点表达出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y₁的解析式中，由此求得m的值；抛物线y₂以点B为顶点，可先写成顶点式，再将点A的坐标代入其中来确定a₂的值．
（3）由于这个小题并没有说明按给出的三个图求解，所以还需考虑抛物线y₂在y₁左侧的情况，但解法是相同的，仍以y₂在y₁右侧为例进行说明：
在（2）①的解答过程中，我们不难看出CD=AB=m=，而AB的长度正好是两个抛物线对称轴的差的绝对值，那么可以拿CD的长来作为等量关系列出关系式，据此求得b₁、b₂的关系式．
点评：该题是二次函数与等边三角形的综合题；随着题目的深入，y₁解析式逐渐变的复杂，这也是题目的难点所在，只要抓住题目难度的递进性，能够把（2）的解答过程理解透彻，也就能掌握这道题的解题思路和方法；在解题过程中，要抓住等边三角形和两个抛物线顶点这三个关键条件，而最后一题中，没有明示按给出的三个图来解是容易丢解的地方．